逻辑与推理是人工智能的核心问题。符号主义人工智能脱胎于逻辑推理，所有概念通过符号及其关系表示，对符号进行逻辑推理以实现对知识的辨析。本章从命题逻辑、谓词逻辑、知识图谱推理和因果推理四个方面展开。
命题逻辑
命题逻辑是数理逻辑的基础，应用形式化规则对以符号表示的命题进行推理。
基本概念
| 概念 | 定义 |
|---|---|
| 命题 | 一个能确定为真或为假的陈述句。 |
| 原子命题 | 不包含其他命题作为组成部分的命题（简单命题）。 |
| 复合命题 | 通过命题联结词组合原子命题得到的新命题。 |
命题联结词
| 联结词 | 符号 | 含义 | 真值表（ ） |
|---|---|---|---|
| 与 | 合取，“ 且 ” | F, F, F, T | |
| 或 | 析取，“ 或 ” | F, T, T, T | |
| 非 | 否定，“非 ” | T, T, F, F（对应 的真值取反） | |
| 条件 | 蕴含，“如果 ，则 ” | T, T, F, T | |
| 双向条件 | 双向蕴含，“ 当且仅当 ” | T, F, F, T |
重要： 为假仅当 真而 假；当 为假时， 恒为真（空集是任何集合的子集）。
常用逻辑等价式
| 等价式 | 说明 |
|---|---|
| 蕴涵消除 | |
| 德摩根律 | |
| 德摩根律 | |
| 逆否命题 | |
| 双重否定 | |
| 分配律 |
推理规则
| 规则 | 形式 |
|---|---|
| 假言推理 | |
| 与消解 | |
| 与导入 | |
| 双重否定消去 | |
| 单项归结 | |
| 归结 |
范式
- 析取范式 (DNF)：有限个简单合取式的析取，如 。
- 合取范式 (CNF)：有限个简单析取式的合取，如 。
- 任意命题公式都存在与之等值的 DNF 和 CNF（不唯一）。
谓词逻辑
命题逻辑无法表达“局部与整体”“一般与个别”的关系（如苏格拉底三段论），因此引入谓词逻辑，将原子命题细分为个体、谓词和量词。
基本元素
| 元素 | 定义 | 示例 |
|---|---|---|
| 个体 | 研究对象中独立存在的具体或抽象概念，可为常量（如苏格拉底）或变量（ ） | 苏格拉底, |
| 谓词 | 刻画个体属性或个体间关系的元素，值为真/假 | , |
| 全称量词 | 表示“所有的”“每一个” | |
| 存在量词 | 表示“存在”“某些” |
量词等价关系
| 关系 | 说明 |
|---|---|
| 所有 满足 等价于 不存在 不满足 | |
| 存在 满足 等价于 并非所有 都不满足 | |
| 并非所有 满足 等价于 存在 不满足 |
推理规则
| 规则 | 符号 | 含义 |
|---|---|---|
| 全称量词消去 (UI) | 对所有 成立，则对任意 成立 | |
| 全称量词引入 (UG) | 若对任意 成立，则对所有 成立 | |
| 存在量词消去 (EI) | 存在某个 ，可指定一个常量 | |
| 存在量词引入 (EG) | 若某个常量满足，则存在 满足 |
苏格拉底三段论证明示例：
- 前提： ，
- 结论：
- 证明：UI 得 ，假言推理即得。
知识图谱推理
知识图谱是由有向图描述实体及关系的知识表示，三元组 <头实体, 关系, 尾实体> 可表示为一阶逻辑，支持推理以发现新知识。
FOIL 归纳推理
FOIL 通过序贯覆盖学习一阶规则，目标谓词作为规则头，逐步添加前提约束谓词直至不覆盖任何反例。
算法流程：
| 步骤 | 操作 |
|---|---|
| 1 | 将目标谓词作为所学规则的结论。 |
| 2 | 逐一将其他谓词作为前提加入，计算FOIL信息增益，选取增益最大的谓词加入规则，并去掉不满足的样例。 |
| 3 | 重复步骤2，直到规则不覆盖任何反例。 |
信息增益公式：
其中 为原规则覆盖的正反例数， 为加入新前提后的正反例数。
路径排序推理 (PRA)
PRA 将实体间的关联路径作为特征，训练关系分类器。
| 阶段 | 说明 |
|---|---|
| 特征抽取 | 随机游走、BFS/DFS 生成连接实体对的路径集合。 |
| 特征计算 | 计算特征值，如到达概率、路径频次或布尔存在性。 |
| 分类器训练 | 用特征训练二分类器，预测新实体对是否存在目标关系。 |
其他知识推理方法
| 方法 | 核心思想 |
|---|---|
| 基于分布式表示 | 将实体和关系嵌入低维向量空间，通过向量运算（如 ）进行推理。 |
| 马尔可夫逻辑网络 | 结合马尔可夫网络与一阶逻辑，在概率框架下处理不确定性和关系推理。 |
因果推理
因果关系是现象间“引起和被引起”的关系。因果推理判断原因与结果间的必然联系，是比相关性更强的推断。
辛普森悖论
在总体样本上成立的关系，在分组样本中可能完全相反。例如：总体不用药恢复率更高，但按性别分组后用药恢复率均更高。这说明了忽略混杂变量可能导致错误结论，需要因果分析。
结构因果模型 (SCM)
- SCM 由外生变量集 、内生变量集 和一组函数 组成， 是 的直接原因当且仅当 出现在给 赋值的函数中。
- 因果图：有向无环图 (DAG)，结点为变量，边表示直接因果依赖。可用于乘积分解联合概率。
因果图的基本结构
| 结构 | 图示 | 条件独立性 |
|---|---|---|
| 链 | 给定 时， 与 条件独立 | |
| 分连 | 给定 时， 与 条件独立 | |
| 汇连 | 与 无条件独立；给定 （或 的后代）时相关 |
D-分离：若给定集合 阻塞了 与 间的所有路径，则 与 条件独立。阻塞条件：路径上的链/分连中间结点在 中，或汇连结点及其后代均不在 中。
干预的因果效应
引入 do 算子 表示强制固定变量 的值为 ，消除指向 的边后计算 的分布。
- 因果效应差：
- 调整公式（已知混杂 时）： 用无干预下的条件概率即可计算因果效应。
反事实模型
反事实回答“如果当时做了不同选择，结果会怎样”的问题。计算步骤：
| 步骤 | 操作 |
|---|---|
| 1. 溯因 | 利用证据 推断外生变量 的值。 |
| 2. 动作 | 修改模型，将原因变量 强制设为反事实值 ，得到修正模型 。 |
| 3. 预测 | 在 和已推断的 下计算结果变量 的值。 |
因果分析的层次化 (Pearl)
| 层次 | 典型问题 | 表达式 |
|---|---|---|
| 关联 | “看到 会怎样？” | $P(y |
| 干预 | “如果做 会怎样？” | $P(y |
| 反事实 | “如果当初没做 会怎样？” | $P(y' |
小结
逻辑与推理是人工智能的核心支柱。命题逻辑和谓词逻辑为知识表示和自动推理提供了形式化基础；知识图谱推理扩展了从大规模知识中获取新关系的能力；因果推理则超越相关性，揭示变量间的本质因果机制。三者共同构成了智能系统进行演绎、归纳与因果推断的理论框架。